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2015級張雷生

猶記得結課之后，柏滿迎老師對我們說了一句語重心長的話：“我知道統(tǒng)計學起來很吃力，但等你們學完了，你就會發(fā)現(xiàn)它真的很有用?！蔽蚁雽蠋熣f：我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了。它不但很有用，而且很有趣。這確實是我學完這門課的真實感悟。作為柏老師的課代表，我斗膽擷取統(tǒng)計學里的一個最基礎的知識點，通過自編的一個小故事，以通俗化的形式呈現(xiàn)其本質，既以此來表示自己在學習上的一點收獲，同時也表示對柏老師把我們帶到這門實用性與趣味性完美結合的課程里來的感謝。

我們學的統(tǒng)計，分為兩大部分：描述統(tǒng)計和推斷統(tǒng)計。前者比例小，后者比例大。前者容易，后者難。前者稍微具備數(shù)學基礎的人都能學，學完了以后，做出來的統(tǒng)計結果，稍微有點文化的人都能看明白。后者對學的人有要求，對看的人也有要求。數(shù)學基礎差的，不容易學，文化低的，不容易看。如果說前者是下里巴人，那后者無疑是陽春白雪。

描述統(tǒng)計和推斷統(tǒng)計的最本質的區(qū)別，就在于它們是分析已知的數(shù)據(jù)還是未知的數(shù)據(jù)。何為已知？就是已經(jīng)得到的、實實在在擺在那里的數(shù)據(jù)。那為什么要分析呢？因為數(shù)據(jù)雖然已經(jīng)有了，但雜亂無章，直接拿給別人看，別人會覺得很費勁。于是需要你去描述它們，描述得清楚些、明白些，讓別人看了一目了然，這就叫描述統(tǒng)計。你可以有很多種方法來做這件事，這就是我們學的描述統(tǒng)計的各種方法。比如，最最簡單也是最最常見的方法，就是平均數(shù)。

為什么要用平均數(shù)呢？打個比方，你向老板匯報去年的銷售數(shù)字，你手上一共有去年12月的數(shù)字，那你是不是可以把這12個數(shù)字都念一遍給老板聽呢？當然可以啦，假如你希望被老板趕出來的話。為什么被趕出來？因為老板需要的是一目了然的匯報，而你沒做到。怎么做到？很簡單，你只需要告訴他3個數(shù)：去年一年的總銷量，去年每個月的平均銷量，以及和前年相比的增長幅度。這就叫一目了然。平均數(shù)的作用，就是隱去了12個數(shù)字，而代之以一個新的數(shù)字，或者說，用1個數(shù)來代表或者叫概括12個數(shù)。

但平均數(shù)有沒有缺陷呢？當然有。下面這個故事就叫“坑爹的平均數(shù)”。

有兩個老板，各開了一家商城，同一天剪彩。為了博眼球，兩個老板都想找5個美女來做模特。他們叫自己的兒子找模特公司簽合同雇人。老板甲的兒子比較靠譜，在合同里寫清楚了，5個女模身高都要求1.75米，最后人家忠實履行合同，人找來了，完全符合要求。但老板乙那出問題了。他兒子簽的合同寫的是5個女模平均身高都要求1.75米。結果人家給找了5個女孩，但老板一看，鼻子差點氣歪了。因為這5個人身高分別是155、160、180、185、195厘米，站在一塊，高的太高，矮的太矮，實在是不忍直視。老板一生氣，拒付費用?？赡Ｌ毓菊f了：你兒子跟我們簽的合同上只說平均身高是175厘米，我找的這5個人平均身高就是1.75米，完全符合你的要求，該付的錢一分都不能少！老板沒轍，含著淚把錢付了。平均數(shù)坑爹啊！

有人說那我如果把所有數(shù)字都念給老板聽不就可以避免這個問題了嗎？可以是可以。但問題是你念5個數(shù)可以，要是500、5000、50000個數(shù)怎么念？不還是得用平均數(shù)？可平均數(shù)又有問題。那問題到底在哪呢？就在于總體的數(shù)據(jù)很可能是參差不齊的。也就是說，當你用平均數(shù)描述了一組數(shù)據(jù)，還不夠，因為平均數(shù)不能反映出所有數(shù)據(jù)是否參差不齊，以及參差不齊的程度有多大。我們用專業(yè)的術語把這種參差不齊叫做數(shù)據(jù)的變異程度，或者離散程度。除了平均數(shù)，我們還需要把離散程度描述出來。我們用來描述離散程度的數(shù)有兩個，分別叫方差和標準差。

方差，就是把每個數(shù)都和平均數(shù)做個減法，得到的結果，代表每個數(shù)和平均數(shù)的距離。假設全部數(shù)字一共有500個，那我們就可以得到500個距離。我們當然不能把這500個距離又羅列一遍。我們需要把這500個距離分別平方，加起來，再算一個平均數(shù)出來。這個數(shù)就叫方差，我們就用它來描述那500個數(shù)的離散程度。于是，假設有兩組數(shù)，每一組都包含了500個數(shù)，平均數(shù)都一樣，我們就可以看方差一樣不一樣。方差大的那組數(shù)，說明它的離散程度大。方差小的，離散程度小。比如前面那兩組女模，平均數(shù)一樣，但甲組方差為0，乙組方差是230，如果不讓你看到真人，光憑方差，你就完全可以判斷出哪一組是高矮懸殊了。

標準差，就是方差的算數(shù)平方根。為什么要開方呢？因為方差的單位是平方，開方后單位就變得和數(shù)據(jù)一樣了，那這樣就可以用來衡量平均數(shù)的變異程度了。比如230開方是15.2厘米，那這個數(shù)有什么用呢？用處可大了。這個數(shù)的意思是，這組女模特的身高，雖然平均是175厘米，但就總體而言，每個人的身高分布在平均身高上下15厘米左右，也就是大致在160厘米到190厘米的范圍內波動。我們再來看看那5個數(shù)：155、160、180、185、195，其中有4個數(shù)，即80%的數(shù)確實在上述范圍內。所以，有了標準差，你就可以很方便地判斷出大部分乃至絕大部分的數(shù)據(jù)大致在以平均數(shù)為中心的多少個標準差的范圍內。

現(xiàn)在，如果你理解了方差和標準差這兩個數(shù)的內涵，那你就已經(jīng)具備區(qū)間估計和假設檢驗的基礎啦！