各向異性介質(zhì)Eshelby猜想的證明
2021-10-15 08:52 瀏覽量: 4767
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近日，北京大學工學院力學與工程科學系王建祥教授課題組與南方科技大學黃克服教授合作，在Eshelby猜想的研究上取得重要進展。該項研究以“Solutions to thegeneralized Eshelby conjecture for anisotropic media: Proofs of the weakversion and counter-examples to the high-order and the strong versions”為題在線發(fā)表于國際固體力學旗艦期刊《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》（https://authors.elsevier.com/a/1dvLo57Zjzi9~）。1957年，英國學者Eshelby求解了各向同性無限大介質(zhì)中經(jīng)受均勻本征應變場的橢球夾雜內(nèi)部的彈性場，發(fā)現(xiàn)橢球內(nèi)部彈性應變場也是均勻的，均勻本征應變與彈性應變之間可以通過一個四階張量（現(xiàn)今稱為Eshelby張量）相聯(lián)系，基于此，Eshelby提出了等效本征應變的概念以及等效夾雜方法。這些被國際力學界公認為優(yōu)雅的、意義深遠的成果開啟了固體力學發(fā)展的一個新時代，以該解為基礎構(gòu)成的經(jīng)典Eshelby體系成為自20世紀下半葉至今蓬勃發(fā)展的復合材料細觀力學的基石，為復合材料力學性質(zhì)的預測提供了有效途徑，極大地推進了復合材料理論的發(fā)展和應用。Eshelby于1957年發(fā)表的論文至今保持著整個力學領域最高的引用次數(shù)，是當代力學領域最重要的奠基性文獻之一。Eshelby在1961年猜測，橢球是唯一一種將均勻本征應變變換為均勻彈性應變的夾雜構(gòu)型。這一猜測可以嚴格地劃分為對所有均勻本征應變成立的弱猜想，以及對單個均勻本征應變成立的強猜想。Eshelby猜想的解答不僅對復合材料理論的發(fā)展有重要意義，也是應用數(shù)學領域的一個基礎問題。幾十年間，國內(nèi)外許多力學家、數(shù)學家投身于Eshelby猜想及相關問題的研究。直到2008年，韓國國立大學數(shù)學系的H. Kang（現(xiàn)Inha大學應用數(shù)學研究所所長、韓國科學技術學院院士）和美國猶他大學數(shù)學系的G. W. Milton教授（美國工程科學協(xié)會最高獎William Prager獎獲得者），以及當時在加州理工學院工作的Liping Liu（北大力學系校友，現(xiàn)為美國羅格斯大學數(shù)學系、機械和航空系教授）分別證明：對于各向同性介質(zhì)，Eshelby弱猜想成立，Liu還針對某類各向同性四階張量條件下的強猜想給出了反例；2009年，北京大學力學系王敏中教授和學生胥柏香（現(xiàn)德國達姆施塔特工業(yè)大學教授）、趙穎濤（現(xiàn)北京理工大學副教授），以及德國學者D. Gross完成了二維各向異性介質(zhì)中Eshelby強猜想的證明；2010年，法國數(shù)學研究所的H. Ammari（現(xiàn)為 ETH數(shù)學系教授，歐洲科學院院士）和G. W. Milton等部分證明了各向同性介質(zhì)的強猜想。更具一般性的三維空間中各向異性介質(zhì)的Eshelby猜想一直懸而未決。該項研究以本征應變與各向異性彈性張量的笛氏乘積為變量，構(gòu)造了Eshelby弱猜想和強猜想的數(shù)學表示，繼而證明了，對于具有非退化立方對稱性、橫觀各向同性、正交各向異性、單斜對稱性的四種各向異性介質(zhì)，Eshelby弱猜想成立；但是，其相應的強猜想存在反例，并且給出了構(gòu)造非橢球構(gòu)型反例的充分條件。此外，針對這四種各向異性介質(zhì)中多項式形式本征應變的情況，證明了，存在非橢球構(gòu)型的夾雜滿足所謂的Eshelby多項式守恒定理，即將多項式本征應變轉(zhuǎn)換為同階多項式彈性應變。該項研究表明，除了經(jīng)典的橢球構(gòu)型的夾雜之外，在以上每一種各向異性介質(zhì)中，都存在無窮多種非橢球構(gòu)型的夾雜對特定形式的本征應變具有Eshelby均勻性和多項式守恒性，從而極大地拓展了對Eshelby均勻性和多項式守恒性的認知范疇。各向異性非均質(zhì)材料普遍存在于自然界和工業(yè)領域，各向異性介質(zhì)Eshelby體系的研究為多相材料中應變調(diào)控及性能優(yōu)化提供了新的維度，對于分析和設計量子點結(jié)構(gòu)的應變場從而調(diào)控其能帶結(jié)構(gòu)和糾纏光子的性能具有理論指導意義。固體力學專家魏悅廣院士表示：Eshelby猜想是力學領域非常重要的基本問題，其解決具有重要的理論價值。很高興看到王建祥教授、黃克服教授和學生經(jīng)過多年的研究，解決了幾種具有實際應用背景的各向異性介質(zhì)的Eshelby猜想問題。該論文的第一作者袁天宇同學2015年本科畢業(yè)于上海大學力學系，同年進入北京大學工學院力學與工程科學系攻讀博士學位，在王建祥教授和黃克服教授指導下進行Eshelby猜想的研究。論文工作得到國家自然科學基金委員會創(chuàng)新研究群體基金以及重大項目基金的資助。 圖文編輯 | COE
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