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近日，我校力學技術研究院孫博華教授在變分原理方面取得重要進展。研究成果“On Chien’s question to the Hu-Washizu three-field functional and variational principle（關于錢偉長對胡海昌-鷲津久一朗三場泛函和變分原理的質(zhì)疑）”在力學、應用數(shù)學領域國際權(quán)威期刊Applied Mathematics and Mechanics-English Edition（應用數(shù)學與力學， SCI一區(qū)TOP期刊）發(fā)表。孫博華教授為該論文的唯一作者，西安建筑科技大學為該成果的唯一完成單位。

錢偉長先生在使用拉格朗日乘子方法構(gòu)造彈性力學的三場泛函時，發(fā)現(xiàn)在解除本構(gòu)關系這個約束時，出現(xiàn)拉格朗日乘子為零的現(xiàn)象，據(jù)此，錢偉長先生認為Hu-Washizu泛函不是三場泛函只是二場泛函、Hu-Washizu變分原理不是三場變分原理而是二場變分原理。錢偉長先生的質(zhì)疑自1983年提出至今已近40年，仍然沒有明確的解答。為此，西安建筑科技大學的孫博華教授對此問題進行了有益的探索。對于彈性力學問題，其需要考慮平衡方程，變形關系和本構(gòu)關系，經(jīng)典的變分法是使用以位移為基本場的最小勢能原理或者以應力為基本場的最小余能原理推導平衡方程，而認為變形關系和本構(gòu)關系都是自然成立的。1954年中國學者胡海昌提出了三場（位移、應力、應變）泛函和變分原理并用中文和英文分別發(fā)表在《物理學報》和《中國科學》（英文）。日本學者鷲津久一朗（K. Washizu）于1955年在MIT的研究報告中也報道了他提出的三場（位移、應力、應變）泛函和變分原理。由于當時交流不便，國際上認為胡海昌和鷲津久一朗（K. Washizu）是獨立提出三場泛函和變分原理，所以文獻上通常稱為胡海昌和鷲津久一朗（簡稱Hu-Washizu）變分原理。胡海昌提出的三場變分原理被認為是至今為止中國力學在基礎理論方面最重要的工作和中國對世界力學的主要貢獻之一?？墒牵笇Я撕２壬鷰资撐牡闹茖W家錢偉長先生，于1983年在Applied Math. And Mech.,4(2) 143-157(1983) 發(fā)表一篇論文，質(zhì)疑胡海昌提出的三場泛函不是三場（位移、應變、應力）而只是二場（位移、應變）的，并證明了本構(gòu)關系（即應力應變關系）是個無法解除的約束，因為其對應的拉格朗日乘子為零；錢偉長先生還于1985年出版專著《廣義變分原理》全面系統(tǒng)的闡述了其觀點。從1983錢偉長先生提出質(zhì)疑至今已經(jīng)近40年，問題還沒有合理的解答。怎么辦？

孫博華教授注意到，導致拉格朗日乘子為零是使用拉格朗日乘子來構(gòu)造廣義泛函時出現(xiàn)的，而胡海昌的廣義泛函是直接給出的，沒有構(gòu)造過程，但胡海昌的廣義泛函的一次變分的確可以導出彈性力學的三大基本關系即平衡方程、應變位移關系和應力應變關系。這樣就產(chǎn)生了錢偉長質(zhì)疑與Hu-Washizu變分原理的矛盾，即為什么拉格朗日乘子為零？為什么Hu-Washizu變分原理仍然是三場的變分原理？孫博華教授注意到以上問題的核心就是對本構(gòu)關系的理解和推導問題，為了解決這個問題，僅僅在變分方法范疇內(nèi)使用標準的拉格朗日乘子方法是不能給出根本性解答的。為此，必須跳出通常的變分框架，上升到連續(xù)統(tǒng)不可逆熱力學的高度，因為本構(gòu)關系本質(zhì)上是連續(xù)統(tǒng)熱力學的自然結(jié)果。從仔細觀察連續(xù)統(tǒng)不可逆熱力學導出本構(gòu)關系的過程中去發(fā)現(xiàn)有關的信息。經(jīng)過重新推導發(fā)現(xiàn)，連續(xù)統(tǒng)不可逆熱力學的 Clausius-Duhem 不等式可以說就是本構(gòu)關系的一種隱性表示。具有Clausius-Duhem 不等式中某種結(jié)構(gòu)的泛函就意味著可以導出本構(gòu)關系，因為本構(gòu)關系就是這樣被從Clausius-Duhem 不等式推導出來的。如果一個泛函包涵這種結(jié)構(gòu)，就可以說已經(jīng)隱含了本構(gòu)關系，所以使用拉格朗日乘子方法解除本構(gòu)關系的時候必然導致拉格朗日乘子為零。按照這個理解發(fā)現(xiàn)Hu-Washizu泛函剛好具有這樣的結(jié)構(gòu)，所以其一階變分為零就可以導出本構(gòu)關系。再加上Hu-Washizu泛函可以推導出平衡方程和應變位移關系，這樣加起來就可以導出全部的彈性力學方程了。從這個意義上說，Hu-Washizu泛函是三場泛函，對應的變分是三場變分原理。特別是，錢偉長先生還為此提出了一種更一般的泛函，這個泛函剛好也有Clausius-Duhem 不等式中某種結(jié)構(gòu)，所以也是三場泛函，其對應的變分原理也是三場變分原理。由于錢偉長的廣義泛函含有一個任意的標量，調(diào)節(jié)其值可以推導出無窮多種泛函，Hu-Washizu泛函只是其特例之一，所以錢偉長先生提出的高階變分原理是三場變分原理并且是更一般的三場變分原理。

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出品：黨委宣傳部來源：建大新聞網(wǎng)編輯：王俊 翔子審核：宋陽